2007年上海普通高等学校招生统一数学文科考试全解

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）
数 学 (文科) 全解全析

一．填空题（本大题满分44分，本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）

1．方程的解是             ．  
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【解析】
2．函数的反函数               ．
【答案】
【解析】由
3．直线的倾斜角             ．
【答案】
【解析】.。
4．函数的小正周期             ．
【答案】
【解析】。
5．以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是
            ．
【答案】
【解析】双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0）则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)。
6．若向量的夹角为，，则   ．
【答案】
【解析】。
7．如图，在直三棱柱中，，
  ，，则异面直线与所成角的
  大小是               （结果用反三角函数值表示）．
【答案】
【解析】异面直线与所成角为，易求，
。
8．某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数大是　   　．
【答案】3
【解析】因为完成后，才可以开工，C完成后，才可以开工，完成A、C、D需用时间依次为天，且可以同时开工，该工程总时数为9天，。
9．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
                （结果用数值表示）．
【答案】
【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是。
10．对于非零实数，以下四个命题都成立：
  ① ；             ② ；
  ③ 若，则；     ④ 若，则．
  那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是             ．
【答案】②④
【解析】 对于①：解方程得 a i，所以非零复数 a  i使得，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的所有序号是②④
11．如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于
点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与
线段围成图形面积的取值范围是         ．
【答案】
【解析】如图，当外切于点C时，大，此时，两圆半径为1，等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，，随着圆半径的变化，C可以向直线靠近，当C到直线的距离。

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 致学教育课外辅导，提分快效果好！www.z***

12．已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两
  个根，那么的值分别是（　　）
Ａ．   Ｂ．   Ｃ．   Ｄ．
【答案】A
【解析】 因为2 ai，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以2 ai与bi互为共轭复数，则 a=－3，b=2。选A。
13．圆关于直线对称的圆的方程是（　　）
  Ａ．                  Ｂ．
  Ｃ．                  Ｄ．
【答案】C
【解析】圆，圆心（1，0），半径，关于直线对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线上，C中圆的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。
14．数列中， 则数列的极限值（　　）
  Ａ．等于            Ｂ．等于            Ｃ．等于或            Ｄ．不存在
【答案】B
【解析】，选B。
15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推
  出成立”． 那么，下列命题总成立的是（　　）
  Ａ．若成立，则成立
  Ｂ．若成立，则成立
  Ｃ．若成立，则当时，均有成立
  Ｄ．若成立，则当时，均有成立
【答案】D
【解析】 对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若成立，则不一定成立；对B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若成立，则成立，不能得出：．若成立，则成立；对C，当k=1或2时，不一定有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。

三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

16．（本题满分12分）
在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求
正四棱锥的体积．
【解析】作平面，垂足为．连接，
是正方形的中心，是直线与平面
  所成的角．
＝，． ．
  ，，
  ．
17．（本题满分14分）
  在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．
【解析】由题意，得为锐角，，
  ，
  由正弦定理得 ，   ．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
  （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果到0.1兆瓦）；
  （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果到0.1%）？
【解析】（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为
  ，，，． 则2006年全球太阳电池的年生产量为
(兆瓦)．
  （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．
解得．
  因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
  已知函数，常数．
  （1）当时，解不等式；
  （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．
  【解析】（1），，
        ． 原不等式的解为．
（2）当时，，对任意，
， 为偶函数．
  当时，，
  取，得 ，
  ，  
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
  （2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
  （3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．
【解析】（1）设数列的公差为，则，解得 ，
  数列为．  
  （2）
      67108861．
  （3）．
  由题意得 是首项为，公差为的等差数列．
  当时，．
  当时，

  综上所述，
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求该
“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当取得小值时，
在点或处；
  （3）若是“果圆”上任意一点，求取得小值时点的横坐标．
【解析】（1） ，
，于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则
，
  ， 的小值只能在或处取到．
  即当取得小值时，在点或处．            
  （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．
．
  当，即时，的小值在时取到，
此时的横坐标是．                          
  当，即时，由于在时是递减的，的小值在时取到，此时的横坐标是．                    
综上所述，若，当取得小值时，点的横坐标是；
若，当取得小值时，点的横坐标是或．